EL PROBLEMA DE LOS CUMPLEAÑOS REPETIDOS

Supóngase que se encuentra un grupo de personas en un salón, ya sea de clases, una junta de trabajo o una celebración familiar y a una de esas personas se le ocurre formular un acertijo o una de esas pregunta o adivinanzas muy acostumbradas en fiestas y celebraciones para entretener a la audiencia. La pregunta es “Cual es la probabilidad de que en esta reunión se encuentre al menos un par de personas que cumplan años en la misma fecha”

El problema de los cumpleaos repetidos

El ejemplo que aquí se presenta es una generalización del célebre Problema de los Cumpleaños Repetidos. Se supondrá que se encuentra en una reunión, puede ser en una habitación, salón o al aire libre también, y en ella se encuentran n personas. ¿Cuál es la Probabilidad de que Ningún Par de Personas Tengan la Misma echa de Cumpleaños?

 Se comienza suponiendo que cada persona de la reunión puede tener como fecha de cumpleaños cualquier día de los 365 del año, (para este caso se ignorará la existencia de años biciestos), y que cada día del año es igualmente probable como cumpleaños de la persona.

 Entonces, seleccionar un cumpleaños para una persona es lo mismo que seleccionar aleatoriamente un número de una urna que contiene M = 365 bolas, numeradas del 1 al 365.

Se demuestra que la probabilida de que ningún par de personas en la reunión dode asisten n personas, tengan el mismo cumpleaños está dada por

Por ejemplo si en la reunión hay 5 personas solamente se tendrá que la probabilidad de que ninguna de las cinco cumpla años en la misma fecha es:

Entonces

Q₅ = (1 – P_n) = (1 – 0,9729) = 0,0271 es la probabilidad de que dos personas o más de las cinco reunidas cumplan año en la misma fecha.

 Para ilustrar mejor este resultado se calculó el valor de esta expresión matemática para varios valores de n como aparecen en la tabla siguiente.

En una habitación que contiene n personas, sea Pn la probabilidad de que no hay dos o más personas con la misma fecha de cumpleaños, y sea Qn la probabilidad de que si hay dos o más personas con el mismo cumpleaños 

n	Pn	Qn
4	0,984	0,016
8	0,926	0,074
12	0,833	0,167
16	0,716	0,284
20	0,589	0,411
22	0,524	0,476
23	0,493	0,507
24	0,462	0,538
28	0,346	0,654
32	0,247	0,753
40	0,109	0,891
48	0,039	0,961
56	0,012	0,998
64	0,003	0,997

 Por medio de esta tabla se determina un hecho que muchas personas encuentran sorprendente y totalmente contrario a su intuición . ¿Cuántas personas deben estar en una habitación para que la probabilidad de que por lo menos dos de ellas tengan la misma fecha de cumleaños sea mayor de 0,5?

A muchas de estas personas que se les ha hecho esta preguntas han dado respuestas tan grandes como 100, 150, 365 y 730. Cuando la respuesta es 23.

REFERENCIAS

Feller, W. (1975) Introducción a la teoría de probabilidades y sus aplicaciones. México. Editorial Limusa. (p. 49)

Parzen, E. (1979) Teoría moderna de probabilidades y sus aplicaciones.  México. Editorial Limusa. (p. 64-65)

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