EL PROBLEMA DE LOS CUMPLEAÑOS REPETIDOS
Supóngase que se encuentra un grupo de personas en un
salón, ya sea de clases, una junta de trabajo o una celebración familiar y a
una de esas personas se le ocurre formular un acertijo o una de esas pregunta o
adivinanzas muy acostumbradas en fiestas y celebraciones para entretener a la
audiencia. La pregunta es “Cual es la probabilidad de que en esta reunión
se encuentre al menos un par de personas que cumplan años en la misma fecha”
El problema de los cumpleaos repetidos
El ejemplo que aquí se presenta es una generalización
del célebre Problema de los Cumpleaños Repetidos. Se supondrá que se
encuentra en una reunión, puede ser en una habitación, salón o al aire libre
también, y en ella se encuentran n personas. ¿Cuál es la Probabilidad de que
Ningún Par de Personas Tengan la Misma echa de Cumpleaños?
Se comienza suponiendo que cada persona de la reunión
puede tener como fecha de cumpleaños cualquier día de los 365 del año, (para
este caso se ignorará la existencia de años biciestos), y que cada día del año
es igualmente probable como cumpleaños de la persona.
Entonces, seleccionar un cumpleaños para una persona es
lo mismo que seleccionar aleatoriamente un número de una urna que contiene M =
365 bolas, numeradas del 1 al 365.
Se demuestra que la probabilida de que ningún par de
personas en la reunión dode asisten n personas, tengan el mismo cumpleaños está
dada por
Por ejemplo si en la reunión hay 5
personas solamente se tendrá que la probabilidad de que ninguna de las cinco
cumpla años en la misma fecha es:
Entonces
Q5 = (1 – Pn) = (1 – 0,9729) = 0,0271
es la probabilidad de que dos personas o más de las cinco reunidas cumplan año
en la misma fecha.
Para ilustrar mejor este resultado
se calculó el valor de esta expresión matemática para varios valores de n como
aparecen en la tabla siguiente.
En una habitación que contiene n
personas, sea Pn la probabilidad de que no hay dos o más personas con la misma
fecha de cumpleaños, y sea Qn la probabilidad de que si hay dos o más personas
con el mismo cumpleaños
n
|
Pn
|
Qn
|
4
|
0,984
|
0,016
|
8
|
0,926
|
0,074
|
12
|
0,833
|
0,167
|
16
|
0,716
|
0,284
|
20
|
0,589
|
0,411
|
22
|
0,524
|
0,476
|
23
|
0,493
|
0,507
|
24
|
0,462
|
0,538
|
28
|
0,346
|
0,654
|
32
|
0,247
|
0,753
|
40
|
0,109
|
0,891
|
48
|
0,039
|
0,961
|
56
|
0,012
|
0,998
|
64
|
0,003
|
0,997
|
Por medio de esta tabla se determina un hecho que
muchas personas encuentran sorprendente y totalmente contrario a su intuición .
¿Cuántas
personas deben estar en una habitación para que la probabilidad de que por lo
menos dos de ellas tengan la misma fecha de cumleaños sea mayor de 0,5?
A muchas de estas personas que se les ha hecho esta
preguntas han dado respuestas tan grandes como 100, 150, 365 y 730. Cuando la
respuesta es 23.
REFERENCIAS
Feller, W. (1975) Introducción a la teoría de probabilidades y sus aplicaciones. México. Editorial Limusa. (p. 49)
Parzen, E. (1979) Teoría moderna de probabilidades y sus aplicaciones. México. Editorial Limusa. (p. 64-65)
PALABRAS CLAVE: Teoría de Probabilidad, Problema de los Cumpleaños Iguales, #QuédateEnCasa, #AsesoríaAcadémica, Asesoría de Tesis, Ejercicios de Probabilidad
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