PRUEBA CHI CUADRADO Y SUS APLICACIONES

PRUEBA CHI CUADRADO χ² Y SUS APLICACIONES

Antes de comenzar exponiendo la forma de aplicación de la prueba Chi Cuadrado χ², su fundamentación teórica y los casos más frecuente de aplicación debo acotar que, de acuerdo con Montgomery, (2004), gran parte de la investigación donde se aplicará esta metodología es empírica, ya sea en psicología, investigación de mercado, las ciencia médicas, agronómica y veterinarias, en la industria y el sinnúmero de disciplinas que se valen de esta poderosa herramienta. Evidentemente, el uso de los métodos estadísticos incrementa en gran medida la eficiencia de estas investigaciones y fortalecen las conclusiones que se obtienen. No obstante el uso correcto de la prueba Chi Cuadrado χ² en cualquier estudio requiere que el investigador tenga en cuenta

1. El uso del conocimiento no estadístico de problema, que apoye la pertinencia de usar o no esta técnica y elegir los factores susceptibles de ser comparados o relacionados e interpretar los resultados que puedan arrojar las prueba Chi Cuadrado, que se utilicen.

2. Mantener el diseño de la investigación y el análisis tan simples como sea posible, es necesario no exagerar en el uso de técnicas estadísticas complejas y sofisticadas cuando existen métodos más sencillos y comprensibles para cumplir el mismo objetivo. Los métodos y análisis relativamente simples son siempre mejores.

Cabe tener en cuenta que si un diseño se hace de manera cuidadosa y correcta, el análisis casi siempre será directo. Sin embargo si el diseño se estropea por ineptitud y torpeza, no es posible que las estadísticas más complejas y elegantes salven la situación.

3. Tener presente la diferencia entra significación práctica y significación estadística. Esto se debe a que dos condiciones experimentales producen respuestas medias que son estadísticamente diferentes, no existe ninguna seguridad de que esta diferencia sea de la magnitud suficiente como para tener algún valor práctico.

Qué son las Pruebas Chi Cuadrado

Las pruebas χ² de Pearson son contrastes de hipótesis consideradas como pruebas no paramétrica que miden la discrepancia entre unos datos observados y otras esperados o que se supones de acuerdo comportamiento teórico supuesto, indicando en qué medida las diferencias existentes entre ambas, de haberlas, se deben al azar en el contraste de hipótesis o a diferencias estadísticamente significativas más alla de la aleatoriedad del proceso.

Las pruebas Chi-cuadrado se utiliza con dos tipos de hipótesis que se denominan:

a. En pruebas de bondad de ajuste

b. En pruebas de independencia

Pruebas de Bondad del Ajuste

Cuando se quiere comprobar si una serie de datos correspondientes a una variable en estudios se comporta de acuerdo con una distribución de probabilidad determinada y unos parámetros también establecidos hipotéticamente, cuya descripción parece adecuada por el conocimiento que se tiene del problema en estudio. Se tiene una determinada función de probabilidad (un solo criterio de clasificación, como cuando se tiene a un grupo de sujetos, o de objetos, subdividido en varias categorías).

Esta metodología también puede ser usada en pruebas de homogeneidad de muestras y varianzas.

Fórmula general:

Donde:

χ² = Chi Cuadrado

f_o = Frecuencias Observadas. Estos son los datos obtenídos al hacer cada observación en la muestra real o física del estudio

fe = Frecuencias Esperadas, o frecuencias teóricas y van a ser el resultado de hacer las operciones respectivas en el supuesto que la variable estudiada se corresponda con la distribución de probabilidad hipóteticamente propuesta.

Cuanto mayor sea el valor de χ², menos verosímil es que la hipótesis sea correcta. De la misma forma, cuanto más se aproxima a cero el valor de chi-cuadrado, más ajustadas están ambas distribuciones.

Pasos para una prueba de hipótesis χ² para bondad del ajuste

Paso 1: Se plantea la suposición inicial de que una cierta variable en estudio sigue una distribución de probabilidad con ciertos parámetros.

Paso 2: Se formula el contraste de hipótesis de la manera siguiente:

Hipótesis nula H₀: La variable X sigue una cierta distribución de probabilidad f(X) con unos determinados parámetros (y₁,..., y_p)

Hipótesis alterna H₁: X tiene cualquier otra distribución de probabilidad

El tipo de distribución se determina, según los casos, en función de: La propia definición de la variable, consideraciones teóricas al margen de esta o evidencia aportada por datos anteriores al experimento actual.

A menudo, la propia definición del tipo de variable lleva implícitos los valores de sus parámetros o de parte de ellos; si esto no fuera así dichos parámetros se estimarán a partir de la muestra de valores de la variable que se utiliza para realizar la prueba de ajuste.

Es importante destacar que el rechazo de la hipótesis nula no implica que sean falsos todos sus aspectos sino únicamente el conjunto de ellos; por ejemplo, podría ocurrir que el tipo de distribución fuera correcto pero hubiera una equivocación en los valores de los parámetros.

Paso 3: De acuerdo con los parámetros indicados en la hipótesis nula y la cantidad de datos observados se procede a identificar el valor Chi Cuadrado χ² teórico para el problema en particular, en cual podría denotarse como χ²_[(1-_a);(k-1)] con (1 - a) Nivel de confianza y gl grados de libertad = (k -1) [número de categorías menos una]

Paso 4: Los datos identificados en el paso anterior son los llamados puntos críticos, que establecen los puntos donde limita la zona de aceptación de aceptación de la hipótesis nula y la zona de rechazo.

Ejemplo de Prueba Chi Cuadrado χ² para Bondad del Ajuste

Las personas de cierto país se clasifican de acuerdo con su grupo sanguíneo por porcentajes determinados por estudios que históricamente se han realizados y se espera que dicha distribución, en porcentajes, sea la siguiente:

Grupo Sanguíneo	Porcentaje Esperado
AB	5,0%
A	31,0%
B	16,0%
O	48,0%
	100,0%

Paso 1: Determinar la conjetura o sospecha asociada al problema

Se tiene la conjetura de que el grupo de 150 donantes observados sigue una distribución aproximada con la observada históricamente

Se tomó una muestra de 150 donantes de sangre encontrándose la siguiente distribución por grupo sanguíneo:

Grupo	Frecuencia Observada
AB	4
A	48
B	15
0	83
	150

Paso 2: Se formula el contraste de hipótesis

H₀: los datos se ajustan a la distribución histórica de los grupos sanguíneos de la población (Distribución Teórica).

H₁: los datos no se ajustan a la distribución teórica.

Paso 3: Elegir un nivel de significación

Siguiendo el esquema general de solución propuesto para las pruebas de hipótesis, ahora corresponde elegir un nivel de significación. Se eligen entonces el nivel de significación del contraste a = 0,01. El estadístico de prueba será ji-cuadrado, cuya fórmula es:

Paso 4: Se calculan las frecuencias esperadas

Se deben calcular las frecuencias esperadas de la muestra de 150 personas observadas. Si aplican los porcentajes esperados a la muestra de 150 casos puede obtenerse las siguientes frecuencias esperadas:

Grupo Sanguíneo	Porcentaje Esperado	Frecuencia Observadas	Frecuencia Esperadas
AB	5%	4	7,5
A	31%	48	46,5
B	16%	15	24
0	48%	83	72
	100%	150	150

Los grados de libertad de esta tabla se obtienen restando 1 al número de categorías, en este caso dispuestas en las filas, en este caso: gl = (4 – 1) = 3. Se debe recordar que la fila del total no se considera para los grados de libertad.

Paso 5: Calcular el estadístico de contraste χ²

Si ya se tienen las frecuencias observadas y esperadas, se puede proceder a evaluar la diferencia entre ellas utilizando el estadístico de contraste Chi Cuadrado χ².

Si la diferencia entre frecuencias observadas y esperadas es grande, significará que la hipótesis nula es falsa, o sea, esta distribución no se ajusta a la distribución teórica y si, en cambio, resulta que la diferencia entre frecuencias observadas y esperadas no es muy grande, significará que la hipótesis nula es verdadera; por lo tanto, la distribución en la muestra se ajusta a la distribución teórica y diremos que no hay significación estadística.

En la siguiente tabla se ilustran los cálculos que deben hacerse para el cálculo de estadístico Chi Cuadrado χ²

(a)	(b)	(c)	(d)	(e)	(f)	(g)
Grupo Sanguíneo	Porcentaje Esperado	Frecuencia Observadas	Frecuencia Esperadas	(f₀ - f_e)	(f₀ - f_e)²
AB	5%	4	7,5	-3,50	12,25	1,6333
A	31%	48	46,5	1,50	2,25	0,0484
B	16%	15	24,0	-9,00	81,00	3,3750
0	48%	83	72,0	11,00	121,00	1,6806
	100%	150	150			6,7373

χ² = 6,7373

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Cómo se calculo el estadístico Chi Cuadrado χ² para Bondad del Ajuste

Cada columna de la tabla de cálculos que se presenta tiene el significado siguiente:

(a) El nombre de la variable y sus opciones o categorías, en este caso los distintos grupos sanguíneos

(b) El porcentaje esperado de acuerdo con el histórico que se lleva en el centro de salud o región geográfica donde se hizo el estudio

(d) Bajo el supuesto de que la hipótesis nula es cierto las 150 deben tener la distribución esperada (5% de 150 es 7,5) (31% de 150 son 46,5) (16% de 150 es 24) y (48% de 150 es 72) valores presentados en la tabla

(e) A cada frecuencia observada se restará la frecuencia esperada respectiva (f₀ - f_e) o columna (c) – columna (d)

(f) Cada valor de la columna (e) se eleva al cuadrado se obtienen los valores (f₀ - f_e)²

(g) Finalmente en esta columna se releja la división de cada valor de la columna (f) entre su valor respectivo de la columna (d)

Una vez realizado este sencillo procedimiento se suma la última comuna y se obtiene:

χ² = 6,7373

El valor del estadístico de prueba (χ²) es una medida de la diferencia entre frecuencias observadas y esperadas; por lo tanto, mientras mayor resulte, más fácil será rechazar la hipótesis nula.

Paso 6: Se comparan los valores de Chi Cuadrado χ² esperado y observado

El valor de Chi Cuadrado χ²esperadose busca en la tabla que se presenta a continuación, fijando el nivel de significación a = 0,01 y 3 grados de libertad. Según tabla, ese valor es 11,345.

Al comparar el valor del estadístico de prueba χ²=6,7373 con el valor de tabla 11,345, se puede apreciar en la gráfica que 6,7373 se encuentra a la izquierda de 11,345 desplazado hacia el centro de la curva y que, por lo tanto, la probabilidad de valores mayores a él es superior al nivel de significación a = 0,01.

Paso 7: Se llega a una conclusión y se toma una decisión

Dado que χ²=6,7373 < 11,345, se acepta la hipótesis nula. Esto significa que los datos observados se ajustan a la distribución teórica, por lo tanto las diferencias observadas no son estadísticamente significativas. En conclusión los datos de la muestra de donantes de sangres se corresponden con las características de distribución de los donantes históricos de la población.

Aquí se puede resaltar que aunque el proceso se hizo en 7 pasos, la idea de éstos es netamente pedagógica, con la práctica, la experiencia y conocimiento del fenómeno estudiado por parte del investigador estos pasos pueden reducirse. Sin embargo la recomendación es hacer el procedimiento de la forma más sistemáticamente posible para que se facilite además su posterior comunicación y divulgación.

Ojo: El valor Chi Cuadrado esperado se obtiene en la tabla y el valor Chi cuadrado observado es el resultado del cálculo con los datos tomados en la muestra

Pruebas Chi-Cuadrada χ² de Asociación e Independencia

Los cálculos para estas pruebas son iguales, pero la pregunta que se tratan de responder en el contraste de hipótesis puede ser diferente

Prueba de asociación Chi Cuadrado χ²

Se utiliza una prueba de asociación para determinar si una variable está asociada a otra variable. Por ejemplo, determine si las ventas de diferentes colores de automóviles dependen de la ciudad donde se venden. En estos casos la utilidad es descriptiva de la muestra observada

Ejemplo de prueba de Asociación Chi Cuadrado χ²

En una investigación de mercados se quiere, entre otras cosas, establecer la asociación que puede existir entre la preferencia en la presentación del chocolate amargo para repostería (líquido, polvo, barra) y las tiendas donde se adquiere el producto (de chinos, de árabes, de venezolanos) en Maracay, ciudad de Venezuela.

Paso 1: Se formula el contraste de hipótesis

H₀: No existe asociación entre la presentación del chocolate para repostería y el tipo de tienda donde lo adquieren los consumidores

H₁: Si existe asociación entre la presentación del chocolate para repostería y el tipo de tienda donde lo adquieren los consumidores

Paso 2: Selección y extracción de una muestra del universo en estudio

Para tal fin se toma una muestra de clientes a la salida de las tiendas donde se proveen del producto con la finalidad de realizar la prueba Chi Cuadrado, obteniéndose los resultados siguientes:

Valores Observados (fo)
	Presentación del Chocolate para Repostería
Tipo de tiendas	Líquido	Polvo	Barra	Total
Chinos	120	46	84	250
Árabes	120	50	89	259
Venezolanos	128	45	82	255
Total	368	141	255	764

Paso 3: Cálculo del estadístico de contraste χ²

Una vez realizada la recolección y tabulación de los datos se procede al cálculo de los Valores Esperados para realizar la prueba Chi Cuadrado

a₁₁ = (368x250)/764 = 120,42 a₁₂ = (141x250)/764 = 46,14 a₁₃ = (255x250)/764 = 83,44

a₂₁ = (368x259)/764 = 124,75 a₂₂ = (141x259)/764 = 47,80 a₂₃ = (255x259)/764 = 86,45

a₃₁ = (368x255)/764 = 122,83 a₃₂ = (141x255)/764 = 47,06 a₃₃ = (255x255)/764 = 85,11

Valores Esperados (fe)
	Presentación del Chocolate para Repostería
Tipo de tiendas	Líquido	Polvo	Barra	Total
Chinos	120,42	46,14	83,44	250
Árabes	124,75	47,80	86,45	259
Venezolanos	122,83	47,06	85,11	255
Total	368	141	255	764

A continuación se aplica la fórmula del estadístico de contraste Chi Cuadrado χ² para cada uno de los valores generándose la siguiente tabulación

Valores de Chi Cuadrado
	Presentación del Chocolate para Repostería
Tipo de tiendas	Líquido	Polvo	Barra	Total
Chinos	0,0015	0,0004	0,0037	0,0056
Árabes	0,1812	0,1013	0,0754	0,3579
Venezolanos	0,2178	0,0903	0,1137	0,4219
Total	0,4005	0,1920	0,1929	0,7854

El valor calculado Chi Cuadrado χ² = 0,7854

Paso 4: se estable en nivel de significación de la prueba y los grados de libertad (gl)

Como se trata de un estudio de mercado es satisfactorio establecer un nivel de significación en 5%, por lo tanto a = 0,05. entonces gl = (n – 1)x(m-1) siendo los grados de libertad gl = (3-1)x(3-1) = 4

Paso 5: Se localiza el valor teórico o esperado para χ² con a = 0,05 y gl = 4 resultando ser este χ² = 9,488

Paso 6: se procede a comparar χ² (teórico) contra χ² (calculado) χ² = 9,488 (teórico) > χ² = 0,7854 calculado

Paso 7: Se toma una decisión

Se acepta la hipótesis nula, con un nivel significación de 5%, no existe asociación entre la presentación del chocolate amargo para repostería y el tipo de tienda donde se adquiere

Prueba de independencia Chi Cuadrado χ²

Una prueba de independencia es muy útil para determinar si el valor observado de una variable depende del valor observado de otra variable. En estos casos una de las variables puede ser controlada y la prueba se utilizaría de forma experimental.

De acuerdo a nuestra experiencia, es la aplicación de la prueba de independencia Chi Cuadrado χ² la más utilizada en psicología, estudios sociológico e investigación de mercado, además de muchas otras ciencias. En este procedimiento se presenta la hipótesis nula, según la cual según la cual dos criterios de clasificación cuando se aplica a dos conjuntos de entidades, son independientes.

Por ejemplo, probar que el hábito de fumar es independiente del sexo del fumador o probar que existe independencia entre el hábito de llegar tarde al trabajo con el tiempo que tienen trabajando allí las personas.

Como se presentó el caso de la prueba chi de asociación en este caso también se genera una tabla de doble entrada, o tabla de contingencia, de acuerdo con dos criterios de clasificación

Pasos para Prueba de independencia Chi Cuadrado χ²

La hipótesis nula H₀ corresponde a la proposición: los dos criterios de clasificación son independientes. Se llega a rechazarse H₀ se concluirá que los dos criterios de clasificación “No Son Independientes” en la población de donde se extrajo la muestra para la prueba Chi Cuadrado

Paso 1: Se clasifican los individuos de acuerdo con los dos criterios establecidos con sus distintos niveles. Es decir se genera la tabla de contingencia

Paso 2: se calculan las frecuencias esperadas, las cuales pueden colocar en la misma celda o tabularse en una tabla de contingencia nueva.

Paso 3: se calcula el estadístico de contraste Chi Cuadrado de acuerdo con la órmula conocida:

Donde:

f_o: frecuencias observadas

f_e: frecuencias esperadas

n: el número de celdas de la tabla de contingencias

Paso 4: De acuerdo con el nivel de significación establecido se localiza en la tabla Chi Cuadrado el valor teórico respectivo

Paso 5: se compara el valor teórico contra el estadístico de contraste o valor calculado

Paso 6: se toma una decisión

Ejemplos de Prueba de independencia Chi Cuadrado χ²

A continuación se presentan dos ejemplos que permitirán ver con claridad el proceso de prueba de independencia mediante la distribución Chi Cuadrado χ²

Se tiene una investigación sobre la administración del personal en una organización y se quiere averiguar, entre otras cosas, si existe alguna relación entre el nivel de formación académica y el rendimiento laboral para un grupo de trabajadores. El nivel de formación académica se clasifica en tres categorías: Educación Media, Técnica y Universitario, Especialistas Postgrados. Mientras que el rendimiento laboral se categorizó como: Excelente, Bueno y Regular.

Paso 1: se formula en contraste de hipótesis

H₀: El rendimiento laboral de los trabajadores es independiente del nivel de formación académico

H₁: Existe cierta dependencia entra el rendimiento laboral de los trabajadores y el nivel de formación académico

Paso 2: se procede a la recolección y tabulación de los datos (frecuencias observadas)

La tabla de contingencia de 3x3 presenta la distribución de frecuencias conjunta de 200 trabajadores.

Frecuencias Observadas (fo)
	Formación Académica
Rendimiento Laboral	Educación Media	Técnica Universitario	Especialistas Postgrados	Total
Excelente	10	40	10	60
Bueno	30	30	20	80
Regular	10	30	20	60
Total	50	100	50	200

Paso 3: A continuación se calculan las frecuencias esperadas, las cuales se obtienen al multiplicar el total de la columna por el total de la fila respectiva y dividiendo entre el total de observaciones

Frecuencias Esperadas (fe)
	Formación Académica
Rendimiento Laboral	Educación Media	Técnica Universitario	Especialistas Postgrados	Total
Excelente	15	30	15	60
Bueno	20	40	20	80
Regular	15	30	15	60
Total	50	100	50	200

Paso 4: Se realiza el cálculo del estadístico de contraste c², de la manera siguiente:

En la siguiente tabla de contingencia se presentan los cálculos realizados con Excel

Cálculo
	Formación Académica
Rendimiento Laboral	Educación Media	Técnica Universitario	Especialistas Postgrados	Total
Excelente	1,6667	3,3333	1,6667	6,6667
Bueno	5,0000	2,5000	0,0000	7,5000
Regular	1,6667	0,0000	1,6667	3,3333
Total	8,3333	5,8333	3,3333	17,5000

Paso 5: Se establece el valor teórico o esperado para χ² con (3-1)x(3-1) = 4 grados de libertad y un nivel de significación de 5%, es decir a = 0,05 que para este problema en particular es de 9,488

Paso 6: se realiza el contraste o comparación

Este valor calculado de χ² = 17,5000, o estadístico de contraste se confronta con el valor de la tabla χ² = 9,488 observándose que el valor calculado es superior

Paso 7: se toma una decisión

Se rechaza la hipótesis nula, pudiéndose concluir que las variables Nivel y Académico y Rendimiento Laboral no son independientes, existe relación significativa entre ellas.

Prueba de independencia Chi Cuadrado con tabla de contingencia de 2x2

Un caso especial en la prueba de independencia es aquel que emplea una tabla de contingencia de 2x2. Si se utiliza ese tipo de tablas puede aplicarse una fórmula simplificada para calcular el χ² observado o empírico.

Supóngase que las frecuencias observadas en una tabla de contingencia 2x2 sean a, b, c y d como se presenta a continuación:

	A	B	Total
X	a	b	a + b
Y	c	d	c + d
Total	a + c	b + d	n

El valor χ² puede calcularse entonces con la fórmula siguiente:

Que tiene (2 – 1)x(2 – 1) = 1 grado de libertad

Con frecuencia se aplica la corrección de continuidad de Yates, análoga a la corrección de continuidad de la aproximación normal a la binomial, para mejorar la aproximación multinomial exacta. El valor χ² corregido se calcula así:

Ejemplo de Prueba de independencia Chi Cuadrado con tabla de contingencia de 2x2

En un estudio para determinar si existía relación entre el sexo y el propósito de elegir una carrera técnica se entrevistaron 120 aspirantes a la universidad. Los resultados se muestran en la siguiente tabla de contingencia, así como las frecuencias esperadas,

	¿Aspira a Cerrera Técnica?
Sexo	Si	No	Total
Masculino	40	30	70
Femenino	10	40	50
Total	50	70	120

En este caso se aplica la fórmula dada anteriormente y se obtiene:

De la tabla Chi Cuadrado χ² se tiene que para un grado de libertad, el valor crítico que separa 0,1% superior es 10,828, por tanto, la hipótesis según la cual existe independencia entre el sexo y el propósito de elegir una carrera técnica debe ser rechazada.

Si se tiene en cuenta la corrección por continuidad de Yates se obtiene:

Que es ligeramente menor que el valor antes obtenido, pero aun así la hipótesis de independencia debe ser rechazada.

Como se indicó en las secciones anteriores, la prueba Chi Cuadrado c² es sólo un método de aproximación. Cuando mayor sea el tamaño de la muestra, mejor será la aproximación.

En la prueba de bondad de ajuste, la frecuencia esperada de cada clase debe ser mayor o igual a 5 para lograr un buen ajuste. Igualmente, en una prueba de independencia la frecuencia esperad deberá ser 5 o más, cuando el número de los grados de libertad es superior a 1. Si dicho número es 1 o si se emplea una tabla de contingencia 2x2, el tamaño de la muestra a de ser lo suficientemente grande para que ninguna frecuencia esperada sea inferior a 10.

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