TEOREMA DE BAYES

TEOREMA DE BAYES

Como consecuencia del teorema de la probabilidad total y de las propiedades de la probabilidad condicionada, resulta este importante teorema que permite calcular probabilidades condicionadas.

Una vez vista de definición de probabilidad condicional y de haber deducido el teorema de probabilidad total como una consecuencia de ésta, además de haber realizado ejercicios de aplicación que permitieron fijar los conocimientos de estas definiciones cruciales para el desarrollo de la teoría moderna de probabilidad se platea, demuestra y desarrollar ejercicios del Teorema de Bayes, el cual es consecuencia inmediata del Teorema de Probabilidad Total.

En el Teorema de Probabilidad Total se estaba ante casos donde el universo o marco muestral del experimento aleatorio puede fraccionarse en una cantidad n de partes, las cuales conforman una partición, además se define un suceso o característica A que puede estar presente en cada una de las partes en que fue dividido el marco muestral. Se realizó la pregunta ¿Cuál es la probabilidad de que un elemento cualquiera, seleccionado aleatoriamente posea dicha característica A? Y por medio del Teorema de Probabilidad Total se dio respuesta a dicha pregunta.

Pero qué pasaría si ahora la pregunta fuera: Fue seleccionado un elemento del universo, en forma aleatoria, al observarlo se comprobó que posee la característica A, ¿Cuál es la probabilidad de que ese elemento observado provenga de la parte Bk del universo?

Por ejemplo: A un consultorio pediátrico asisten niños en tres grupos de edad; grupo B1 de 0 a 5 años, grupo B2 de 6 a 10 años y grupo B3 de 11 y 12 años. Se sabe por experiencia que de los niños que asisten mensualmente al consultorio A1 niños presentan gripe en el grupo 1, A2 niños presentan gripe en el grupo 2 y A3 del grupo 3 presentan gripe. ¿Si al tomar un niño aleatoriomente resulta que presenta gripe, cual es la probabilidad de que provenga del grupo de edad Bk?

Demostración del Teorema (Regla) de Bayes

El teorema o regla de Bayes es una técnica que permite obtener la probabilidad condicional de un suceso o evento cuando mediante el efecto se trata de determinar la probabilidad de la causa. Este resultado es muy utilizado para el estudio de fenómenos sociales. Sin embargo, por el uso de probabilidades subjetivas ha sido muy cuestionado su uso.

Teorema de Bayes: Supóngase que la familia de subconjuntos {B}i=1 es una partición de un espacio muestral S, con P[Bi] > 0. Si A es un suceso de entonces: 

La demostración de este teorema incluye parte del Teorema de Probabilidad Total:

Por definición de probabilidad condicional se tiene que:

Por ser P(B_k∩A) = P(A/B_k)P(B_k) por propiedad de probabilidad condicional

Y

Como se demostró en el Teorema de Probabilidad Total

Fijemos este conocimiento mediante la aplicación en un ejercicio de ejemplo:

Suponga que los cuatro inspectores de una fábrica de películas colocan la fecha de caducidad de cada paquete de película al final de la línea de montaje. 
Juan coloca la fecha de caducidad en 20% de los paquetes, pero por error no la pone una de cada 200 paquetes que recibe. 
Tomás que la coloca en 60% de los paquetes, no la coloca una cada 100 paquetes, 
Jesús, quien la coloca en 15% de los paquetes, no lo hace una vez en cada 90 paquetes. Por último, Pedro, que fecha 5% de los paquetes, no lo hace en uno de cada 200 paquetes. 

Si un consumidor se queja de que su paquete de película no muestra la fecha de caducidad.¿Cuál es la probabilidad de que haya sido inspeccionado por Juan?

Paso 1: Lo primero que se debe hacer es identiicar los componetes teóricos del enunciado de acuerdo con el Teorema de Probabilidad Total y el Teorema de Bayes para luego extraer los datos del enunciado:

Datos:   Se define B_i como el porcentaje de producto inspeccionado por el inspector i-ésimo

              Y A como el suceso fecha faltante, se tiene la siguiente tabla de datos

Paso 2: Se deben extraer los datos del enunciado de acuerdo con el enunciado identiicado:

Inspector	% de Inspección	% de Fechas Faltantes	P[A/Bi]P[Bi]
B1: Juan	20% = 0,20	P(A/B1) = 1/200 = 0,005	0,00100
B2: Tomás	60% = 0,60	P(A/B2) = 1/100 = 0,010	0,00600
B3: Jesús	15% = 0,15	P(A/B3) = 1/90 = 0,011	0,00165
B4: Pedro	5% = 0,05	P(A/B1) = 1/200 = 0,005	0,00025
			P[A] = 0,0089

De acuerdo con la probabilidad solicitada en el ejercicio, los valores resaltados en azul se sustituyen el la fórmula del Teorema de Bayes

Entonces P[Juan/Falta Fecha] = P[B₁/A] = [0,001/0,0089] = 0,1124

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REFERENCIA BIBLIOGRÁFICAS Y DOCUMENTALES

Canavos, George (1988) Probabilidad y Estadística; Aplicaciones y métodos. México. Mc Graw-Hill Interamericana de México

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