VARIABLES ALEATORIAS
Son muchas las situaciones en que usted puede encontrarse, la realización de una acción o el dejar de hacerla depende del resultado de
una experimento aleatorio. Es común decidir el resultado de un partido de
fútbol o cualquier otro deporte por medio del lanzamiento de una moneda, luego
de haber agotado las instancias de decisión en la cancha, o el jugarse cierta
cantidad de dinero en una ruleta, o decidir a quién le toca fregar los platos
de la cena entre muchas otras decisiones que se toman de acuerdo con el
resultado de un experimento aleatorio.
En este contexto, cuando se tiene una variable cuyo
resultado depende del resultado de un experimento aleatorio se dice que dicha
variable es aleatoria.
Variable aleatoria: Definición
Formalmente se dice que una variable aleatoria X es una
función que asigna valores numéricos a los sucesos elementales de un espacio
muestral. En otras palabras, una variable aleatoria (v.a.) es una función que
asocia a cada resultado del espacio muestral un número real. Así, las variables
aleatorias puede ser discretas y continuas.
Variables aleatorias discretas
Una variable se dice que es discreta cuando sólo puede
tomar valores numerables, finitos o infinitos, por ejemplo:
- Ejemplo
1: Cantidad de caras que pueden salir en el lanzamiento de una moneda tres
veces, que puede ser: Ω = {0, 1, 2, 3}
- Ejemplo
2: Se lanza una moneda hasta que salga cara y se cuenta el número de sellos que
aparecieron antes de la primera cara, y su espacio muestral es Ω = {0, 1, 2, 3,
…., +∞}
Función de Distribución de Probabilidad
La función de distribución de probabilidad o simplemente
la función de distribución es la representación, ya sea gráfica, esquemática o
tabular de los distintos valores que toma la Variable Aleatoria (v.a.) y los valores de probabilidad
que le corresponden.
Por ejemplo: sea el experimento de lanzar un dado dos
veces, se define la v.a. como la suma de puntos de ambos dados, su función de
distribución de probabilidad vendría a representarse como se presenta a
continuación.
Primero se define el espacio muestral del experimento, el
cual es:
Como se puede apreciar, existen 36 casos posibles, cada
uno de ellos con probabilidad de 1/36 de ocurrencia.
Ahora se determina la probabilidad para cada valor
distinto que puede tomar la variable. Así el mínimo valor de X es 2, cuando
aparezca el par (1,1) cuya suma es dos y su probabilidad es 1/36.
El Valor de X = 3 se obtiene cuando aparezca el par (1,2)
o el par (2,1) en ambos casos suma dos y su probabilidad es de 2/36 y así
sucesivamente hasta completar todos los valores posibles de probabilidad para
cada posible valor de X.
Entonces la Función de Distribución de Probabilidad de la
v.a. se puede presentarse como:
Otra forma de presentar una Variable Aleatoria es como un esquema, por ejemplo:
¿Cuál es el valor que debe tener k para que X sea una
variable aleatoria? Sabiendo que P[X] viene dada por:
En este caso se debe determinar el
valor de k para que la función de distribución de probabilidad de la v.a. X
sume 1 para todos los valores posible de X.
Para hacer eso se procede de la siguiente
manera, se sustituye cada valor de X en la función, luego se suman todos los resultados
y se igualan a 1, se despeja K y se obtiene la función de distribución
definitiva.
Así,
Para X = 0 entonces P[0] = [k(0+1)/3]
= k/3
Para X = 1 entonces P[1] = [k(1+1)/3]
= 2k/3
Para X = 2 entonces P[2] = [k(2+1)/3]
= 3k/3
Para X = 3 entonces P[3] = [k(3+1)/3]
= 4k/3
Luego, como ∑P[X] = 1, se tiene que
[(k/3) + (2k/3) + (3k/3) + (4k/3)] = 1
Sumando se tiene que 10k/3 = 1 entonces
k = 3/10
Siendo la función de distribución de probabilidad
de X como se describe a continuación:
Propiedades de una Variable Aleatoria
La función de distribución de
probabilidad de una variable aleatoria discreta tiene las siguientes
propiedades:
1. 0 ≤ P[X] ≤ 1 para todo X perteneciente a los números reales
2.
La
suma de los valores de P[X] cuando se considera todo el rango X, es igual a
uno, esto quiere decir que ∑P[X] = 1 para todo X Є R
3.
La
probabilidad de que la variable aleatoria presente alguno de los valores que
pertenece a un subconjunto de dominio, es la suma de la probabilidad de los
valores particulares en dicho subconjunto, es decir:
Es bueno señalar que n puede tomar eventualmente
infinitos valores, es por eso que por lo general se utilizan fórmulas para
describir su función de distribución como se representó en el ejemplo anterior.
Por consiguiente cuando se calcula la
probabilidad de que X sea menor o igual que un valor específico x0,
se suman las probabilidades de todos los valores menores que x0.
Esta idea puede generalizarse obteniéndose un nuevo concepto que no es otro que
el de función acumulativa o acumulada
que se denota y define como: FX(x0) = P[X ≤ x0]
Variables Aleatorias Continuas
Se ha definido que una variable aleatoria X es discreta
si su imagen es un conjunto finito o infinito numerable. En la práctica las
variables aleatorias discretas sirven como modelo para hacer inferencia estadística
cuando los datos que se recogen son enteros, generalmente el número o cantidad
de algo. Pero cuando los datos que se registran son continuos, por ejemplo
cuando se utilizan medidas de peso, de distancia o de capacidad como Kg, Cm o ml respectivamente, o medidas de tiempo como segundos, se utilizan
otro tipo de variables aleatorias como modelo probabilístico, y estas son las
variables aleatorias continuas.
Definición
Una variable se dice que es continua cuando puede tomar
infinitos valores dentro de valores fijados. Es decir, sean a y b dos valores
distintos, donde a y b pertenecen a los números reales, una variable aleatoria
se dice continua cuando puede tomar cualquier valor dentro del intervalo que
forman a y b,
Es decir, X es una variable
aleatoria absolutamente continua si existe una función f:R→R+ tal
que 
donde la función f es llamada función de densidad de la variable
aleatoria X
donde la función f es llamada función de densidad de la variable
aleatoria XEjemplos de variables aleatorias continuas
-
Ejemplo
1: Tiempo de llegada a la meta de cinco corredores distintos que compiten en
una carrera de 100 metros planos
-
Ejemplo
2: Tiempo entre la llegada de un cliente y otro a una taquilla de servicios en
un lapso de tiempo determinado.
Téngase en cuenta que:
1.
Si
X es una variable aleatoria continua, entonces F es continua
2.
F
es continua si y sólo si P[X = x0] = 0 para todo x0
perteneciente a R
3.
Si
X es una variable aleatoria continua entonces 
Propiedades de la función de densidad
1.
La función de densidad de probabilidad no puede tomar valores negativos. Es decir: f(x)
≥ 0 para todo x perteneciente a R
2. 
El área bajo de curva en todo el dominio de la v.a. X siempre debe ser igual a 1. Es decir
El área bajo de curva en todo el dominio de la v.a. X siempre debe ser igual a 1. Es decir
3. P[a < X
< b] = al área baja la curva entre a y b, siempre y cuando a y b
queden dentro del dominio de la Varable Aleatoria X
Es decir:
Es decir:
REFERENCIA BIBLIOGRÁFICAS Y DOCUMENTALES
Canavos, George (1988) Probabilidad y Estadística;
Aplicaciones y métodos. México. Mc Graw-Hill Interamericana de México
Chao, Lincoln (1999) Estadística para las Ciencias
Administrativas. Tercera Edición. México. Mc Graw-Hill.
Feller, William (1975) Introducción a la Teoría de
Probabilidad y sus Aplicaciones. Volumen I. México. Editorial Limusa
Lipschutz, S. y Schiller, J. (1980) Introducción a la
Probabilidad y Estadística. México Mc Graw-Hill
Meyer, Paul (1973) Probabilidad y Aplicaciones Estadísticas.
EE UU Fondo Educativa Interamericano, S. A.
Murray, Spiegel (1976) Probabilidad y Estadística.
México. Mc Graw-Hill Interamericana de México
Parzen, Emanuel (1979) Teoría Moderna de Probabilidad y
sus Aplicaciones. Tercera Reimpresión. México. Editorial Limusa
Ríus, F., y otros (s/f) Bioestadística: métodos y
aplicaciones. Universidad de Málaga. España. [Libro en línea] disponible en:
http://www.bioestadistica.uma.es/libro/ [Consulta: 2014, mayo 16]
Walpole, R., Myers, R. y Myers Sh. (1999) Probabilidad y Estadística para Ingenieros. Sexta
Edición. México. Prentice Hall Hispanoamericana, S. A.
Comentarios
Publicar un comentario
Aquí puede comentar este artículo o enviar su mensaje directo a asesoriatesis60@gmail.com