VARIABLES ALEATORIAS

VARIABLES ALEATORIAS

Son muchas las situaciones en que usted puede encontrarse, la realización de una acción o el dejar de hacerla depende del resultado de una experimento aleatorio. Es común decidir el resultado de un partido de fútbol o cualquier otro deporte por medio del lanzamiento de una moneda, luego de haber agotado las instancias de decisión en la cancha, o el jugarse cierta cantidad de dinero en una ruleta, o decidir a quién le toca fregar los platos de la cena entre muchas otras decisiones que se toman de acuerdo con el resultado de un experimento aleatorio.

En este contexto, cuando se tiene una variable cuyo resultado depende del resultado de un experimento aleatorio se dice que dicha variable es aleatoria.

Variable aleatoria: Definición

Formalmente se dice que una variable aleatoria X es una función que asigna valores numéricos a los sucesos elementales de un espacio muestral. En otras palabras, una variable aleatoria (v.a.) es una función que asocia a cada resultado del espacio muestral un número real. Así, las variables aleatorias puede ser discretas y continuas.

Variables aleatorias discretas

Una variable se dice que es discreta cuando sólo puede tomar valores numerables, finitos o infinitos, por ejemplo:

- Ejemplo 1: Cantidad de caras que pueden salir en el lanzamiento de una moneda tres veces, que puede ser: Ω = {0, 1, 2, 3}

- Ejemplo 2: Se lanza una moneda hasta que salga cara y se cuenta el número de sellos que aparecieron antes de la primera cara, y su espacio muestral es Ω = {0, 1, 2, 3, …., +∞}

Función de Distribución de Probabilidad

La función de distribución de probabilidad o simplemente la función de distribución es la representación, ya sea gráfica, esquemática o tabular de los distintos valores que toma la Variable Aleatoria (v.a.) y los valores de probabilidad que le corresponden.

Por ejemplo: sea el experimento de lanzar un dado dos veces, se define la v.a. como la suma de puntos de ambos dados, su función de distribución de probabilidad vendría a representarse como se presenta a continuación.

Primero se define el espacio muestral del experimento, el cual es:

 

 

Como se puede apreciar, existen 36 casos posibles, cada uno de ellos con probabilidad de 1/36 de ocurrencia.

Ahora se determina la probabilidad para cada valor distinto que puede tomar la variable. Así el mínimo valor de X es 2, cuando aparezca el par (1,1) cuya suma es dos y su probabilidad es 1/36.

 

El Valor de X = 3 se obtiene cuando aparezca el par (1,2) o el par (2,1) en ambos casos suma dos y su probabilidad es de 2/36 y así sucesivamente hasta completar todos los valores posibles de probabilidad para cada posible valor de X.

 

Entonces la Función de Distribución de Probabilidad de la v.a. se puede presentarse como:

 

Otra forma de presentar una Variable Aleatoria es como un esquema, por ejemplo: 

 

¿Cuál es el valor que debe tener k para que X sea una variable aleatoria? Sabiendo que P[X] viene dada por:

En este caso se debe determinar el valor de k para que la función de distribución de probabilidad de la v.a. X sume 1 para todos los valores posible de X.

Para hacer eso se procede de la siguiente manera, se sustituye cada valor de X en la función, luego se suman todos los resultados y se igualan a 1, se despeja K y se obtiene la función de distribución definitiva.

 

Así,

Para X = 0 entonces P[0] = [k(0+1)/3] = k/3

Para X = 1 entonces P[1] = [k(1+1)/3] = 2k/3

Para X = 2 entonces P[2] = [k(2+1)/3] = 3k/3

Para X = 3 entonces P[3] = [k(3+1)/3] = 4k/3

 

Luego, como ∑P[X] = 1, se tiene que [(k/3) + (2k/3) + (3k/3) + (4k/3)] = 1

 

Sumando se tiene que 10k/3 = 1 entonces k = 3/10

 

Siendo la función de distribución de probabilidad de X como se describe a continuación:

 

   

 

Propiedades de una Variable Aleatoria

La función de distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta tiene las siguientes propiedades:

 

1.   0 ≤ P[X] ≤ 1  para todo X perteneciente a los números reales

2.   La suma de los valores de P[X] cuando se considera todo el rango X, es igual a uno, esto quiere decir que ∑P[X] = 1  para todo X Є R

3.   La probabilidad de que la variable aleatoria presente alguno de los valores que pertenece a un subconjunto de dominio, es la suma de la probabilidad de los valores particulares en dicho subconjunto, es decir:

 

 

Es bueno señalar que n puede tomar eventualmente infinitos valores, es por eso que por lo general se utilizan fórmulas para describir su función de distribución como se representó en el ejemplo anterior.

Por consiguiente cuando se calcula la probabilidad de que X sea menor o igual que un valor específico x₀, se suman las probabilidades de todos los valores menores que x₀. Esta idea puede generalizarse obteniéndose un nuevo concepto que no es otro que el de función acumulativa o acumulada que se denota y define como: F_X(x₀) = P[X ≤ x₀]

Variables Aleatorias Continuas

Se ha definido que una variable aleatoria X es discreta si su imagen es un conjunto finito o infinito numerable. En la práctica las variables aleatorias discretas sirven como modelo para hacer inferencia estadística cuando los datos que se recogen son enteros, generalmente el número o cantidad de algo. Pero cuando los datos que se registran son continuos, por ejemplo cuando se utilizan medidas de peso, de distancia o de capacidad como Kg, Cm o ml respectivamente, o medidas de tiempo como segundos, se utilizan otro tipo de variables aleatorias como modelo probabilístico, y estas son las variables aleatorias continuas.

Definición

Una variable se dice que es continua cuando puede tomar infinitos valores dentro de valores fijados. Es decir, sean a y b dos valores distintos, donde a y b pertenecen a los números reales, una variable aleatoria se dice continua cuando puede tomar cualquier valor dentro del intervalo que forman a y b,

 

Es decir, X es una variable aleatoria absolutamente continua si existe una función f:R→R⁺ tal que donde la función f es llamada función de densidad de la variable aleatoria X

Ejemplos de variables aleatorias continuas

-       Ejemplo 1: Tiempo de llegada a la meta de cinco corredores distintos que compiten en una carrera de 100 metros planos

-       Ejemplo 2: Tiempo entre la llegada de un cliente y otro a una taquilla de servicios en un lapso de tiempo determinado.

Téngase en cuenta que:

1.    Si X es una variable aleatoria continua, entonces F es continua

2.    F es continua si y sólo si P[X = x₀] = 0 para todo x₀ perteneciente a R

3.    Si X es una variable aleatoria continua entonces

Propiedades de la función de densidad

1.    La función de densidad de probabilidad no puede tomar valores negativos. Es decir: f(x) ≥ 0 para todo x perteneciente a R

2.     El área bajo de curva en todo el dominio de la v.a. X siempre debe ser igual a 1. Es decir

3. P[a < X < b] = al área baja la curva entre a y b, siempre y cuando a y b queden dentro del dominio de la Varable Aleatoria X
Es decir: 

 

 

REFERENCIA BIBLIOGRÁFICAS Y DOCUMENTALES

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Lipschutz, S. y Schiller, J. (1980) Introducción a la Probabilidad y Estadística. México Mc Graw-Hill

Meyer, Paul (1973) Probabilidad y Aplicaciones Estadísticas. EE UU Fondo Educativa Interamericano, S. A.

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