TEOREMA DE MULTIPLICACIÓN E INDEPENDENCIA DE SUCESOS

TEOREMA DE MULTIPLICACIÓN E INDEPENDENCIA DE SUCESOS

Comenzando la serie de trabajos sobre Probabilidad Condicional se hizo mención al caso en que se tiene una caja con treinta bombillos de los cuales cinco son defectuosos. Si se toman tres bombillos sin reemplazamiento y se prueban cuál es la probabilidad de que los tres sean defectuosos.

Si se llaman A₁ el primer bombillos extraído, A₂ al segundo, A₃ al tercero, y así sucesivamente hasta completar A₃₀ que sería el treintavo bombillo, se tiene claro que la probabilidad de cada uno de ellos va a depender de lo que ocurra anteriormente, es decir de que los anteriores sean o no defectuosos. Revisando ese primer ejemplo de probabilidad condicional y generalizando para el caso de n bombillos se tiene el Teorema del Producto o Teorema de Multiplicación como se presenta a continuación:

 

Teorema de Multiplicación

Sean A₁, A₂, A₃, . . . A_n, n sucesos o eventos asociados al espacio muestral Ω y suponiendo que P[A₁∩A₂∩ A₃∩ . . . ∩A_n-1] > 0 entonces:

P[A₁∩A₂∩ A₃∩ . . . ∩A_n] = P[A₁]P[A₂/A₁]P[A₃/A₁∩A₂]. . . . . P[A_n/A₁∩A₂∩…∩A_n-1]

Para la demostración de este teorema se parte de la propiedad de probabilidad condicional que dice que P[A∩B] = P[A]P[B/A]

Entonces P[A₁∩A₂] = P[A₁]P[A₂/A₁]

Para tres sucesos se tendrá que P[A₁∩A₂∩ A₃] = P[A₁]P[A₂/A₁]P[A₃/A₁∩A₂] y así sucesivamente hasta los n sucesos observados en el experimento aleatorio.

Con ejemplo se ilustrará mejor este resultado y reforzará su entendimiento

 

Ejercicio  con el Teorema de de Multiplicación

Una bolsa contiene tres fichas negras y siete fichas blancas. Se efectúa el siguiente juego: se extrae una ficha, se observa su color y luego se devuelve a la bolsa con dos bolas adicionales del mismo color. Si se realizan tres extracciones una a continuación de la otra, halle la probabilidad de que en cada una de ella se extraiga una ficha negra.

Se define el suceso A_i como una ficha negra que se selecciona en la i-ésima extracción, con i = 1, 2, 3

Una vez definidos los sucesos queda claro que la probabilidad pedida es:

P[A₁∩A₂∩ A₃] = P[A₁]P[A₂/A₁]P[A₃/A₁∩A₂] = (3/10)x(5/12)x(7/14) = 1/16 = 0,625

A continuación la explicación de cómo se obtiene el resultado de este ejercicio

P[A₁] = 3/10 porque al comienzo se escoge una ficha de un total de diez, siendo tres negras

P[A₂/A₁] = 5/12 porque al haber sido la primera negra, se devolvió con dos fichas negras adicionales, por lo que quedan 12 fichas con un total de cinco negras

P[A₃/A₁∩A₂] = 7/14 Porque al ser la segunda negra se devolvió a la bolsa con dos fichas negras adicionales para tener un total de 14 fichas con siete negras.

Independencia de Sucesos

Cuando se trató el concepto de Probabilidad Condicional P[A/B] se estableció implícitamente que la probabilidad de la ocurrencia de A estaba determinada por la posibilidad de que ocurriera N o porque B ya había ocurrido, no obstante, en muchos casos la ocurrencia de un suceso no influye ni está influenciado por la ocurrencia de otro. Por ejemplo, no tiene nada que ver la probabilidad de ganarse un premio en la lotería con que el trasporte de las 6:00 salga con retraso.

Así, cuando la ocurrencia de un suceso o evento A no está influenciado ni influye en la ocurrencia de un suceso o evento B, se dice que los sucesos A y B son independientes.

A continuación se define formalmente la independencia de sucesos:

 

Definición de la Regla Especial de Multiplicación

Sean dos sucesos A y B, asociados al espacio muestral de un experimento aleatorio, se dice que A y B son independientes si se cumple que P[A∩B] = P[A]P[B] esta fórmula se conoce con nombre de Regla Especial de Multiplicación.

Aunque se ha iniciado la discusión de la independencia de sucesos por medio de Probabilidad Condicional, no se ha definido en términos de este concepto; la razón es que para tratar la probabilidad condicional es necesario que el suceso condicionante tenga probabilidad mayor a cero y esta condición limitaría la consideración del tema de independencia. Sin embargo, entre los dos conceptos existe cierta equivalencia, como de detallará más adelante.

Teorema de Independencia de Sucesos

Sean A y B dos eventos tales que P[A] > 0 y P[B] > 0, entonces se dice que A y B son independientes si y sólo si P[A/B] = P[A] y P[B/A] = P[B]

Con este teorema que quiere significar el hecho de que si dos sucesos son independientes entonces la probabilidad de que ocurra uno de ellos no afecta la probabilidad de que el otro pueda ocurrir o no.

Para su demostración se parte del hecho de que si A y B son independientes entonces P[A∩B] = P[A]P[B]

De acuerdo con las propiedades de probabilidad condicional:

 P[A∩B] = P[A/B] P[B] ð  P[A]P[B] = P[A/B]P[B] por lo tanto P[A] = P[A/B], lo otra igualdad se demuestra de forma análoga.

Recíprocamente, si P[A/B] = P[A] entonces P[A] = , despejando

P[A]P[B] = P[A∩B], lo que indica la independencia. 

 

Ejemplo de Independencia de Sucesos

Se presenta el experimento de lanzar un dado equilibrado dos veces, se define el suceso A como número que aparece de primero es par y el suceso B como el número que aparece de segundo es impar.

Para su solución se describirá el espacio muestra asociado al experimento

Ω = {(Par, Par), (Par, Impar), (Impar, Par), (Impar, Impar)}

Por otra parte A = {(Par, Par), (Par, Impar)} y B = {(Par, Impar),(Impar, Impar)}

P[A] = 1/2 y por otra parte P[B] = 1/2

P[A∩B] = P[Par, Impar] = (1/2)x(1/2) = 1/4 que es igual al producto P[A]xP[B] = (1/2)x(1/2) =1/4

Ejercicio de Probabilidad con Independencia de Sucesos

Supóngase que 20% de de los estudiantes de la universidad practican algún deporte en sus ratos libres, 30% sigue una dieta de alimentación sana y 6% es practica deportes en sus ratos libres y sigue una dieta de alimentación sana
 

Llamaremos A el suceso practica algún deporte y B al suceso Sigue una Dieta Sana

Entonces P[A] = 0,20 , P[B] = 0,30 y P[A∩B] = 0,06 de acurdo con lo que se plantea el enunciado del problema

Se calcula P[A/B] = P[A∩B]/P[B] = 0,06/0,30 = 0,20 = P[A]

Por otra parte P[B/A] = P[A∩B]/P[A] = 0,06/0,20 = 0,30 = P[B]

Entonces A y B son independientes, la práctica de deportes es independiente del tipo de dieta que sigan los estudiantes de esa universidad.

 

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REFERENCIA BIBLIOGRÁFICAS Y DOCUMENTALES

Canavos, George (1988) Probabilidad y Estadística; Aplicaciones y métodos. México. Mc Graw-Hill Interamericana de México

Chao, Lincoln (1999) Estadística para las Ciencias Administrativas. Tercera Edición. México. Mc Graw-Hill.

Feller, William (1975) Introducción a la Teoría de Probabilidad y sus Aplicaciones. Volumen I. México. Editorial Limusa

Lipschutz, S. y Schiller, J. (1980) Introducción a la Probabilidad y Estadística. México Mc Graw-Hill

Meyer, Paul (1973) Probabilidad y Aplicaciones Estadísticas. EE UU Fondo Educativa Interamericano, S. A.

Murray, Spiegel (1976) Probabilidad y Estadística. México. Mc Graw-Hill Interamericana de México

Parzen, Emanuel (1979) Teoría Moderna de Probabilidad y sus Aplicaciones. Tercera Reimpresión. México. Editorial Limusa

Ríus, F., y otros (s/f) Bioestadística: métodos y aplicaciones. Universidad de Málaga. España. [Libro en línea] disponible en: http://www.bioestadistica.uma.es/libro/ [Consulta: 2014, mayo 16]

Walpole, R., Myers, R. y Myers Sh. (1999) Probabilidad y Estadística para Ingenieros. Sexta Edición. México. Prentice Hall Hispanoamericana, S. A.