TEOREMA DE PROBABILIDAD TOTAL

TEOREMA DE PROBABILIDAD TOTAL

Una vez expuesta definición de probabilidad condicional y tener clara su aplicación se da inicio al estudio del Teorema o regla de Probabilidad Total. Pero previamente se debe conocer una definición fundamental para su aplicación y fundamentación teórica, y no es otra que la de partición.

Partición de conjuntos

Definición: sea el espacio muestral Ω un conjunto no vacío, se define como partición de Ω a cualquier familia {B}i=1 de subconjuntos de Ω que sean mutuamente excluyentes y totalmente exhaustivos. Esto quiere decir que una partición se cumple cuando
  reúne las condiciones siguientes:

i.    B_i ∩ B_j = Vacío para todo i ≠ j La intersección entre los subconjuntos es vacía

ii.   B₁UB₂U . . .  UB_n = Ω   La unión de todos los subconjuntos resultado Ω

Así por ejemplo si Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} entonces {(1, 2, 3) ; (4, 5, 6, 7) ; (8, 9, 10)} son una partición de Ω

Teorema de Probabilidad Total

El teorema o regla de probabilidad total indica cómo calcular la probabilidad de un suceso o evento A cuando se conocen las probabilidades condicionales de P(A/B_i) donde las Bi forma una partición del espacio muestral Ω.

Veamos un ejemplo de esta situación antes de pasar a enunciar el Teorema de Probabilidad Total.

Ejemplo de ejercicio aplicando Probabilidad Total

Supóngase que se tiene una población de 50 trabajadores discriminados en Empleados Administrativos y Personal Operativo los cuales laboran en tres departamentos distintos. Departamento de Producción, Departamento de Acabado y Departamento de Mantenimiento.  

Los cuales se discriminan de la siguiente manera:

Departamento	Administrativos	Operativos
Producción	7	18
Acabado	5	9
Mantenimiento	3	8

Si se selecciona un trabajador de esta empresa en forma aleatoria, ¿Cuál es la probabilidad de que sea Personal Administrativo?

Como se puede observar, al realizar la unión de los trabajadores de cada departamento se obtiene el Universo o Marco Muestral Ω y la intersección es el vacío. Y como aún no contamos con el conocimiento teórico para realizar el cálculo de dicha probabilidad. Se pasará a definir y demostrar el Teorema de Probabilidad Total

Teorema de Probabilidad Total

Supongamos que la familia de subconjuntos {B}i=1 es una partición de un espacio muestral Ω. Si A es un suceso de Ω entonces:

P(A) = P(A/B₁)P(B₁) + P(A/B₂)P(B₂)+ . . . +P(A/B_n)P(B_n) =

Demostración de Teorema de Probabilidad Total

Partiendo de la identidad: A = A∩Ω

Como  es una partición de Ω se tiene que:

A = A∩(B₁UB₂U . . .  UB_n)

Aplicando propiedad distributiva de la intersección con respecto a la unión se tiene que

A = (A∩B₁)U(A∩B₂)U . . . . U(A∩B_n)

Entonces: P(A) = P((A∩B₁)U(A∩B₂)U . . . . U(A∩B_n))

Por ser  una partición, los (A∩B_i) son mutuamente independientes, por lo tanto

P(A) = P(A∩B₁)+P(A∩B₂)+ . . . . +P(A∩B_n)

Por propiedad de probabilidad condicional P(A∩B_i) = P(A/B_i)P(B_i)

Finalmente:

P(A) = P(A/B₁)P(B₁) + P(A/B₂)P(B₂)+ . . . +P(A/B_n)P(B_n) =

Con este resultado teórico se puede resolver el ejemplo de los trabajadores:

A = Administrativo: 15

B₁ = Departamento Producción: 25

B₂ = Departamento de Acabado: 14

B₃ = Departamento de Mantenimiento: 11

P(A) = P(A/B₁)P(B₁) + P(A/B₂)P(B₂) + P(A/B₃)P(B₃)

P(A) = (7/25)x(25/50) + (5/14)x(14/50) + (3/11)x(11/50)

P(A) = 0,14 + 0,1 + 0,0,6 = 0,30

Para reforzar lo estudiado se presenta a continuación u ejemplo.

Ejemplo de ejercicio aplicando Probabilidad Total

Una fábrica de tornillos cuenta con tres máquinas A, B y C las cuales fabrican 25, 35 y 60% de la producción total. De lo que producen 2, 3 y 5 son tornillos defectuosos de cada máquina respectiva. Con la producción total se hace un solo lote y se extrae un tornillo aleatoriamente. Halle la probabilidad de que sea defectuoso.

Los sucesos o eventos a considerar son los siguientes:

A = Tornillos Defectuosos

B₁ = Tornillos producidos por la máquina A        = 25%

B₂ = tornillos producidos por la máquina B         = 35%

B₃ = Tornillos producidos por la máquina C        = 60%

De los datos del enunciado del ejercicio se tiene que:

P(A/B₁) = 0,02

P(A/B₂) = 0,03

P(A/B₃) = 0,05

Entonces, aplicando el Teorema de Probabilidad Total se tiene que:

P(A) = P(A/B₁)P(B₁) + P(A/B₂)P(B₂) + P(A/B₃)P(B₃)

P(A) = 0,02x0,25 + 0,03x0,35 + 0,05x0,60

P(A) = 0,005 + 0,0105 + 0,03 = 0,0455.

REFERENCIA BIBLIOGRÁFICAS Y DOCUMENTALES

Canavos, George (1988) Probabilidad y Estadística; Aplicaciones y métodos. México. Mc Graw-Hill Interamericana de México

Chao, Lincoln (1999) Estadística para las Ciencias Administrativas. Tercera Edición. México. Mc Graw-Hill.

Feller, William (1975) Introducción a la Teoría de Probabilidad y sus Aplicaciones. Volumen I. México. Editorial Limusa

Lipschutz, S. y Schiller, J. (1980) Introducción a la Probabilidad y Estadística. México Mc Graw-Hill

Meyer, Paul (1973) Probabilidad y Aplicaciones Estadísticas. EE UU Fondo Educativa Interamericano, S. A.

Murray, Spiegel (1976) Probabilidad y Estadística. México. Mc Graw-Hill Interamericana de México

Parzen, Emanuel (1979) Teoría Moderna de Probabilidad y sus Aplicaciones. Tercera Reimpresión. México. Editorial Limusa

Ríus, F., y otros (s/f) Bioestadística: métodos y aplicaciones. Universidad de Málaga. España. [Libro en línea] disponible en: http://www.bioestadistica.uma.es/libro/ [Consulta: 2014, mayo 16]

Walpole, R., Myers, R. y Myers Sh. (1999) Probabilidad y Estadística para Ingenieros. Sexta Edición. México. Prentice Hall Hispanoamericana, S. A