PROPIEDADES DE LA ESPERANZA MATEMÁTICA (Demostración)

PROPIEDADES DE LA ESPERANZA MATEMÁTICA (Demostración)

Cómo se demuestran las propiedades de la esperanza matemática

Tomando en cuenta que este blog está orientado a estudiantes y personas con un nivel matemático muy básico, generalmente cursantes de carreras administrativas y psicología en este artículo se presentarán las propiedades de la Esperanza Matemática demostradas de forma bien sencilla y explicativa. En consecuencia, las propiedades del Valor Esperado o Esperanza Matemática las resumo de la manera siguiente:

1.      E[C] = C, donde C es una constante

2.      E[CX] = CE[X] siendo C una constante y X una Variable Aleatoria

3.      E[X + C] = E[X] + C ; siendo C una constante y X una Variable Aleatoria

4.      E[X + Y] = E[X] + E[Y] ; donde X y Y son Variable Aleatoria

5.      E[aX + bY] = aE[X] + bE[Y] donde a y b son constantes y X y Y son Variable Aleatoria

DEMOSTRACIÓN DE LAS PROPIEDADES DE LA ESPERANZA MATEMÁTICA

1.    La Esperanza Matemática de una constante es la constante: E[C] = C

Demostración:

 

2.    La Esperanza Matemática de una Constante por una Variable Aleatoria es igual a la constante por la Esperanza de la Variable Aleatoria

Esto es E[CX] = CE[X] donde C es una constante y X es una Variable Aleatoria

  

3. La Esperanza Matemática de una Variable Aleatoria más una Constante es igual a la Esperanza Matemática de la Variable Aleatoria más la constante

Esto es: E[X + C] = E[X] + C

4.      E[X + Y] = E[X] + E[Y] ; donde X y Y son Variable Aleatoria 

Para esta demostración es necesario que el estudiante tenga en cuenta los enunciados de Probabilidad Condicional cuya fórmula es:

Demostración:

E[X + Y] = E[X] + E[Y]

Si X y Y son  Variables Aleatorias Discretas En primer lugar hay que tomar en cuenta dos cosa que las Variables Aleatorias pueden ser o no Variables Aleatorias Independientes. Sin son Variables Aleatorias Independientes entonces P(X∩Y) = P(X).P(Y)

Además, se sabe que no necesariamente X y Y se definen en el mismo rango de los números naturales, así que se dirá que X va desde 1 hasta n y Y va desde 1 hasta m.

Entonces, por definición de Esperanza Matemática se tiene que:

  

5. E[aX + bY] = aE[X] + bE[Y] donde a y b son constantes y X y Y son Variable Aleatoria Continuas la demostración es análoga a la demostración anterior y se dejará para que el lector practique sus habilidades para realizar demostraciones matemáticas. 

REFERENCIA BIBLIOGRÁFICAS Y DOCUMENTALES

Canavos, George (1988) Probabilidad y Estadística; Aplicaciones y métodos. México. Mc Graw-Hill Interamericana de México

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Feller, William (1975) Introducción a la Teoría de Probabilidad y sus Aplicaciones. Volumen I. México. Editorial Limusa

Lipschutz, S. y Schiller, J. (1980) Introducción a la Probabilidad y Estadística. México Mc Graw-Hill

Meyer, Paul (1973) Probabilidad y Aplicaciones Estadísticas. EE UU Fondo Educativa Interamericano, S. A.

Murray, Spiegel (1976) Probabilidad y Estadística. México. Mc Graw-Hill Interamericana de México

Parzen, Emanuel (1979) Teoría Moderna de Probabilidad y sus Aplicaciones. Tercera Reimpresión. México. Editorial Limusa

Ríus, F., y otros (s/f) Bioestadística: métodos y aplicaciones. Universidad de Málaga. España. [Libro en línea] disponible en: http://www.bioestadistica.uma.es/libro/ [Consulta: 2014, mayo 16]

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