TEORÍA ELEMENTAL DE PROBABILIDAD; APLICACIÓN Y EJERCICIOS

TEORÍA ELEMENTAL DE PROBABILIDAD

La Probabilidad y la Estadística se refieren a situaciones diferentes y por lo tanto resuelven problemas distintos. Sin embargo, las dos se complementan

(Chao, 1993)

Con el artículo que presento a continuación quiero, de una forma sencilla y los más pedagógicamente posible, introducir al lector en el Concepto Elemental de Probabilidad, las definiciones que deben manejarse, su origen lógico y el uso apropiado de cada una de ellas.

Es bueno señalar que no debe confundirse Probabilidad con Estadística como un sinónimo, como si se tratara de lo mismo porque no es así. De acuerdo con Chao, (1993) “La Probabilidad y la Estadística se refieren a situaciones diferentes y por lo tanto resuelven problemas distintos. Sin embargo, las dos se complementan”  

Qué se conoce como probabilidad clásica

Para comenzar con el estudio de los Conceptos Elementales de Probabilidad se introduce la definición de la llamada Probabilidad Clásica, que es el nombre con que se asigna al hecho de tomar la probabilidad objetiva, en sentido práctico, y puede considerarse de dos manera, Probabilidad a Priori y Probabilidad a Posteriori. Además de estas dos consideraciones que son las que tienen alguna validez formal, se tiene el otro tipo de probabilidad, llamada Probabilidad Subjetiva

-  La Probabilidad a Priori, llamada canónica fue introducida por Laplace, [Pierre Simon de Laplace (1749-1827)] y se establece de la forma siguiente “Si un experimento aleatorio puede concluir de n maneras mutuamente excluyentes e igualmente posibles y m de estas maneras poseen una característica E, entonces la probabilidad de E viene dada por m/n.

E se llama evento o suceso, y la probabilidad de E se denota por P[E]

Es decir que:

-  La Probabilidad a Posteriori: se encontrarán infinidad de casos en que la probabilidad de cada suceso no se puede determinar a simple vista por el investigador, ya sea porque el Mecanismo de Aleatorización no es fácilmente observable, como si lo es un dado o una moneda, porque el evento ocurre muy distanciado en unidades de tiempo y la igualdad de posibilidades para cada suceso no se puede verificar entonces se hace uso de la Probabilidad a Posteriori, que es algo así como la experiencia u observación del suceso una gran cantidad de veces hasta establecer una Regularidad Estadística de Ocurrencia

El principio de Probabilidad a Posteriori fue establecido por Richard von Mises [1883 a 1953] y su postulado es el siguiente:

“Supóngase que un Experimento Aleatorio es repetido una gran cantidad de veces, digamos n veces, y sea m el número de veces en que el suceso E ocurrió. Es un hecho experimentalmente que a medida que n aumenta el cociente m/n tiende a estabilizarse en un número p”. Este número p será entonces la probabilidad de E y se dirá entonces que P[E] = p

En esta forma de conceptualización de la Probabilidad a Posteriori se pueden observar varios hechos destacables:

1.    Al valor p de probabilidad de E se llega mediante las frecuencias relativas, como se puede apreciar en el artículo Tablas de Frecuencia o Distribución de Frecuencias por eso a los seguidores de esta idea se les llama frecuentistas.

2.    Como se puede apreciar al número p, que determina la probabilidad de E se llegó mediante un proceso de paso al límite. Sin embargo, este no puede ser estudiado de la forma en que se determina el límite de una función como se hace en Cálculo Matemático

3.    Debe tenerse en cuenta que para llegar al valor de p es necesario que el Experimento Aleatorio pueda repetirse en las mismas condiciones tantas veces como se quiera y además si los resultados presentan Regularidad Estadística. Esto quiere decir que a medida que el experimento es realizado gran cantidad de veces las proporción de ocurrencia de cada Punto Muestral tienen a regularizarse, aproximadamente, en la misma proporción.

Probabilidad Posteriori o Frecuentista

A continuación se ilustra cómo se llega a la probabilidad de obtener cara cuando se lanza una moneda utilizando Probabilidad Posteriori o Frecuentista.

El experimento consistió en lo siguiente, se lanzó una moneda mil veces contándose el número de caras y sello que fueron apareciendo progresivamente en el transcurso de los lanzamientos, resultando Tabla de Frecuencia o Distribución de Frecuencias que se presenta a continuación: 

 Nota: el momento en que se detiene el Experimento Aleatorio para hacer los conteos es arbitrario, puede ser cada veinte, treinta o cincuenta lanzamientos como el investigador lo considere más oportuno y conveniente. Lo cierto es que a los veinte se sumaron los diez anteriores y a los cien los veinte anteriores y así sucesivamente, los 1.000 lanzamiento finales contienen los 500 anteriores

En este contexto y de acuerdo a lo observado puede decirse que la probabilidad de que salga cara en esa monea es de 0,50

Probabilidad Subjetiva

-  Probabilidad subjetiva como se mencionó al comienzo existe otra visión de la probabilidad, la probabilidad subjetiva, la cual viene determinada por la experiencia del investigador, semejante a las frecuencias relativas, el soporte es la experiencia y conocimientos previos sobre el fenómeno que se estudia. La probabilidad se define o interpreta de la siguiente manera:

Dado un Experimento Aleatorio determinado, una situación o la observación de cierto fenómeno de índole aleatoria, la probabilidad de un suceso A es el grado de creencia asignado a la ocurrencia de éste por un individuo particular, con las siguientes exigencias:

1.      P[A] = 0 representa la certeza de que el suceso A no ocurrirá

2.      P[A] = 1 representa la certeza de que el suceso A si ocurrirá

3.      0 > P[A] < 1 representa el grado de certeza de que el evento A ocurrirá

Aun cuando la Probabilidad Subjetiva es muy utilizada en algunos aspectos económicos financieros, en Investigaciones de Mercado y hasta en Estudios Electorales, siempre su uso viene precedido de la experiencia y conocimiento que tenga el investigador del fenómeno que está siendo investigado. 

Probabilidad, conceptos básicos

Antes de continuar con el desarrollo de la Teoría Elemental de Probabilidad presentaré los conceptos y definiciones básicas de dicha teoría comenzando por Experimento Aleatorio

Qué es un Experimento Aleatorio: Son aquellos fenómenos, de interés para el investigador, cuyos resultados u ocurrencia no pueden ser predichos antes de ser observados, aun cuando la prueba se repita bajo condiciones iguales, como son el lanzar una moneda, no puede predecirse si caerá cara o sello, una pareja decide planificar el tamaño de la familia y la cantidad de niños que desean tener, aunque pueden determinar el número no pueden predecir el sexo de ellos antes de su concepción.

El sacar una carta de una baraja, el hacer girar la ruleta, el abrir una hoja de un libro y saber de antemano el número de la página de la derecha, etc. En todos estos ejemplos, aun después de haberse repetido el experimento varias veces, jamás se podrá prever el resultado de la siguiente experiencia. Son precedidos de la incertidumbre. 

Qué es un suceso o evento: cada una de los casos posible a ser observados en un Experimento Aleatorio se le llama Suceso o Evento. También los sucesos o eventos son llamados Puntos Muestrales

Qué es el Espacio Muestral de una Experimento Aleatorio: El espacio muestral es el conjunto de todos los resultados distintos que pueden ocurrir en un Experimento Aleatorio y se denota por Ω. El Espacio Muestral es el conjunto de todos los sucesos posibles,  también llamado Universo Muestral
 Qué son Sucesos Simples: son sucesos aleatorios determinados por un solo punto muestral del Espacio Muestral Ω. Ejemplo se lanza un dado, el experimento esta compuesto por seis sucesos simples Ω = (1, 2, 3, 4, 5, 6) 
Qué son Sucesos Compuestos: Son aquellos sucesos conformados por dos o mas puntos del espacio muestral, ejemplo se lanza un dado y se define el suceso A como número par de puntos y B como número impar de puntos entonces A = (2, 4, 6) y B = (1, 3, 5)

Qué son Sucesos Mutuamente Excluyentes: Dos o más Suceso se dice que son Sucesos Mutuamente Excluyentes si la ocurrencia de uno de los sucesos imposibilita la ocurrencia de cualquier otro suceso del Espacio Muestral Ω

Qué son Sucesos Independientes: Dos o más sucesos asociados a un Experimento Aleatorio se dice que son Sucesos Independientes si la probabilidad de ocurrencia de uno de ellos no se ve afectada por la probabilidad de ocurrencia del cualquier otro suceso. sobre este concepto volveremos en otras entregas

Qué es un Suceso imposible: Es aquel que nunca se puede dar y le corresponde al conjunto vacio Ø 

Qué es un Suceso seguro: Es el que siempre se verifica y corresponde al espacio muestral Ω

Ejemplo:

Se define el siguiente Experimento Aleatorio; se tiene una caja con tres fichas, una blanca, una roja y la otra negra y una moneda. El experimento aleatorio consiste en lanzar la moneda y seguidamente sacar una ficha de la caja. Cuál será la probabilidad de cara y extraer la ficha roja de la caja

Paso uno: definir los casos posibles, es decir, determinar cuál es el Espacio Muestral del Experimento Aleatorio Así;

i.      El Marco muestral es el siguiente

ii.    El Marco muestral está compuesto por seis sucesos mutuamente excluyentes

iii.  Los sucesos de este experimento son Sucesos Simple, porque cada uno de ellos está compuesto un solo punto muestral. Aquí puede surgir la confusión debido a que cada uno de ellos se define por los sucesos simples determinados por el lanzamiento de la moneda y extracción de la ficha de la caja. Sin embargo el experimento define las condiciones que debe reunir un sucesos para conformar el marco muestral.

En este sentido, un suceso compuesto podría ser, la ficha blanca aparezca, entonces el suceso compuesto sería [(Cara, Ficha Blanca) ; (Sello, Ficha Blanca)]

iv.  Cuál es la probabilidad de que aparezca blanca en una realización: llámese E al suceso Ficha blanca en el suceso, entonces

E = [(Cara, Ficha Blanca) ; (Sello, Ficha Blanca)] y

P[E] = (2 casos favorables a E)/(seis casos posible) = (2/6) = 0,5

PROBABILIDAD Y TEORÍA DE CONJUNTOS

El Término probabilidad de sucesos corresponde al concepto matemático de conjunto y entre ambos conceptos existe una correspondencia en su terminología cuando se refiere a las expresiones propias de probabilidad y las distintas operaciones entre conjuntos.

1.    Probabilidad de la Unión: La afirmación “A ocurre o B ocurre” o “ambos ocurren”, se representa por AUB. por lo tanto la probabilidad de que el suceso A ocurra o el suceso B ocurra corresponde a la Probabilidad de la Unión y se tiene que:

P[A ocurra o B ocurra] = P[AUB]

La afirmación de “por lo menos uno de los dos sucesos A o B ocurra” también se representa por AUB

2.    Probabilidad de una Intersección: La afirmación, “A ocurre y B ocurre” se representa por A∩B. Lo que indica que la probabilidad de que ocurra el suceso A y ocurra el suceso B viene determinada por la Probabilidad de una Intersección. Esto es;

P[A ocurra y B ocurra] = P[A∩B]

3.    Complemento de A: La afirmación “A no ocurre” se escribe  y se denomina Complemento de A por consiguiente P[A no ocurra] = P[A']

4.    Probabilidad de la Diferencia: La afirmación “A ocurra y B no ocurra” se representa por A∩ , y así la Probabilidad de la Diferencia se denota como:

P[A ocurra y B no ocurra] = P[A∩B'] 

Las operaciones entre conjuntos A∩B'  también pueden expresarse mediante una diferencia entre A y B. esto es, A∩B'  = A – B Entonces P[A∩  = P[A – B]

Ejemplo: Supóngase que se lleva a cabo el siguiente Experimento Aleatorio: se lanza al aire un dado y luego una moneda, ambos correctamente balanceados. Si se denota A y B como los sucesos A sale el número 6 y B: sale “Cara” entonces de acuerdo con la terminología antes indicada se tiene que:

-   A' representa el suceso “No sale 6”

Esto es  = {1, 2, 3, 4,5}

-  B' no sale “Cara”, también puede traducirse como  = “Sello”

-  A∩B sale “6” en el dado y sale “Cara” en la moneda

(6,Cara)

- A'∩B no sale “6” y sale “Cara”

  A'∩B = {(1, C) (2, C) (3,C) (4, C) (5, C)}

-  P[A∩B']  probabilidad de que salga “6” y no salga “Cara”

En este caso primero tenemos que conocer el Espacio Muestral Ω completo para asociar la probabilidad que corresponde a cada suceso

Ω = {(1, C) (2, C) (3, C) (4, C) (5, C) (6, C) (1, S) (2, S) (3, S) (4, S) (5, S) (6, S)}

Son doce (12) sucesos distintos que conforman el espacio muestral, cada uno de ellos con probabilidad (1/6)*(1/2) = (1/12)

Por otra parte P[A∩B']  probabilidad de que salga “6” y no salga “Cara”

Ω = {(1, C) (2, C) (3, C) (4, C) (5, C) (6, C) (1, S) (2, S) (3, S) (4, S) (5, S) (6, S)}

Quien cumplen la condición es el suceso resaltado en amarillo, quien para los efectos del Experimento Aleatorio tiene un solo elemento

P[A∩B']  = (1/12) = 0,0833

-  P[AUB] = Probabilidad de que salga “6” o que salga “Cara” o que salgan “6” y “Cara” simultáneamente.

Resaltando en Amarillo los sucesos que cumplen con la condición se tiene:

Ω = {(1, C) (2, C) (3, C) (4, C) (5, C) (6, C) (1, S) (2, S) (3, S) (4, S) (5, S) (6, S)}

Entonces P[AUB] = (7/12) =  0,5833

A los sucesos de un Experimento Aleatorio que tienen un solo elemento se llaman Sucesos Elementales y a los sucesos que tienen dos o más sucesos elementales se les llama Sucesos Compuestos

Por otra parte dos o más sucesos se dicen Sucesos Mutuamente Excluyentes cuando la ocurrencia de unos de ellos imposibilita la ocurrencia de cualquier otro suceso del Espacio Muestral asociado al Experimento Aleatorio

En otras palabras, dos sucesos A y B se dicen Sucesos Mutuamente Excluyentes cuando no tienen elementos en común. Esto es, al darse uno de ellos, el otro queda inmediatamente excluido. En la terminología que se viene manejando, Terminología Conjuntista, el concepto de sucesos mutuamente excluyentes se expresa por la condición A∩B = Ø

Ejemplo de Sucesos Mutuamente Excluyentes

El Experimento Aleatorio consiste en el lanzamiento de un dado bien balanceado y se definen los elementos A = “Sale un Número Menor o Igual a Tres” y B = “Sale un número mayor que tres”. Ambos sucesos son Sucesos Mutuamente Excluyentes

Finalmente se dirá que siendo dos o más eventos asociados a un mismo Experimento Aleatorio son Sucesos Colectivamente Exhaustivos cuando su unión es igual al Espacio Muestral Ω.

Por medio de la Terminología Conjuntista, se tendrá que AUB = Ω.

Ejemplo: Los sucesos citados para el lanzamiento del dado en el ejemplo anterior son Sucesos Colectivamente Exhaustivos

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REFERENCIA BIBLIOGRÁFICAS Y DOCUMENTALES

Canavos, George (1988) Probabilidad y Estadística; Aplicaciones y métodos. México. Mc Graw-Hill Interamericana de México

Chao, Lincoln (1999) Estadística para las Ciencias Administrativas. Tercera Edición. México. Mc Graw-Hill.

Feller, William (1975) Introducción a la Teoría de Probabilidad y sus Aplicaciones. Volumen I. México. Editorial Limusa

Lipschutz, S. y Schiller, J. (1980) Introducción a la Probabilidad y Estadística. México Mc Graw-Hill

Meyer, Paul (1973) Probabilidad y Aplicaciones Estadísticas. EE UU Fondo Educativa Interamericano, S. A.

Murray, Spiegel (1976) Probabilidad y Estadística. México. Mc Graw-Hill Interamericana de México

Parzen, Emanuel (1979) Teoría Moderna de Probabilidad y sus Aplicaciones. Tercera Reimpresión. México. Editorial Limusa

Ríus, F., y otros (s/f) Bioestadística: métodos y aplicaciones. Universidad de Málaga. España. [Libro en línea] disponible en: http://www.bioestadistica.uma.es/libro/ [Consulta: 2014, mayo 16]

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